Question

如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)求证：MN⊥CD；

(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

Answer 1

　(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE、EN，

则有EN綊CD綊AB綊AM.

故AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.

∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.

又CD∥AB，∴MN⊥CD.

(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PDA＝45°，E是PD的中点，

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.

又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.