Question

设函数f(x)在（－∞,0）∪(0,+∞)上是奇函数，又f（x）在（0，+∞）上是减函数，并且f(x)＜0,指出F(x)=在（－∞,0）上的增减性，并证明你的结论.

Answer 1

答案：
解析：

解：设x1,x2∈(－∞,0)，且x1＜x2,则－x1＞－x2＞0 ∵f(x)在（0，+∞）上是减函数， ∴f(－x1)＜f(－x2)                                                                                                                                                                                  ① 又f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数， ∴f(－x1)=－f(x1) f(－x2)=－f(x2) 由①式有：－f(x1)＜－f(x2), ∴f(x1)＞f(x2) 当x1＜x2＜0时，有F(x2)－F(x1)= ∵f(x)< span lang=ZH- CN style='mso-bidi-font-size:10.5pt;font-family:宋体;mso-ascii-font-family: "Times New Roman"'>在（0，+∞）上恒负， ∴f(x1)=－f(－x1)＞0, f(x2)=－f(－x2)＞0 又f(x1)＞f(x2), ∴F(x2)－F(x1)＞0,且x1＜x2＜0 故F(x)=在（－∞,0）上是增函数.