Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。

（1）证明：DE⊥平面PBC；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

Answer 1

（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥BC， 又∵底面ABCD是正方形， ∴DC⊥BC， 又PD∩DC=D， ∴BC⊥面PDC， 又DE平面PDC， ∴DE⊥BC，                                          ① 在Rt△PDC中，PD=DC，E是PC的中点， ∴DE⊥PC，                                          ② 又PC∩BC=C，                                       ③ 由①②③得，DE⊥面PBC。
（2）解：作EF⊥DC交CD于F，连结BF， 设正方形ABCD的边长为a， ∵ PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥DC， ∴EF∥PD，F为DC的中点， ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影， 故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角。 在RtΔBCF中，， ∵， ∴在RtΔEFB中，， 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为。