Question

已知函数f（x）=x²+（a-3）x-3a （a为常数）
（1）若a=5，解不等式f（x）＞0；
（2）若a∈R，解不等式f（x）＞0；
（3）若对于任意x∈（3，10），总有f（x）＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=5时，（1分）
f（x）=x²+2x-15=（x+5）（x-3）
∴不等式f（x）＞0的解集为：（-∞，-5）∪（3，+∞）；
（2分）
（2）当a∈R时，f（x）=x²+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
∴f（x）=（x+a）（x-3）=0的两根为3，-a （3分）
①当3=-a即a=-3时，原不等式的解集为：（-∞，3）∪（3，+∞）；（4分）
②当3＞-a即a＞-3时，原不等式的解集为：（-∞，-a）∪（3，+∞）；（5分）
③当3＜-a即a＜-3时，原不等式的解集为：（-∞，3）∪（-a，+∞）；（6分）
（3）若对于任意x∈（3，10），总有f（x）＞0成立，
即对于任意x∈（3，10），总有f（x）=x²+（a-3）x-3a＞0成立，
即对于任意x∈（3，10），（x-3）a＞3x-x²成立
即对于任意x∈（3，10），a＞=-x成立（9分）
当x∈（3，10），-10≤x＜-3（11分）
∴a≥-3（12分）．
分析：（1）首先把一元二次不等式变为x²+2x-15＞0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；
（1）先把不等式化简为（x+a）（x-3）＜0，再进行分类讨论：a＞-3；a=-3；a＜-3，可求不等式的解集；
（2）任意x∈（3，10），总有f（x）＞0成立，，即x²+（a-3）x-3a＞0对任意x∈（3，10），恒成立，将参数a分离出来，从而可求a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查一元二次不等式的解法，考查恒成立问题，解题的关键是正确分类，利用分离参数法求解恒成立问题．