Question

已知f（x）=Inx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．

Answer 1

解：（1）∵，∴f'（1）=1．
∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．
∴直线l的方程为y=x﹣1．
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，
∴方程组 有一解．
由上述方程消去y，并整理得x²+2（m﹣1）x+9=0 ①
依题意，方程①有两个相等的实数根，
∴△=[2（m﹣1）]²﹣4×9=0 解之，得m=4或m=﹣2
∵m＜0，∴m=﹣2．
（2）由（1）可知 ，
∴g'（x）=x﹣2
∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．
∴
∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．
∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，
（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．
∵0＜b＜a，
∴．
由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）
∵当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，ln（1+）＜．
∴f（a+b）﹣f（2a）＜