Question

19．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=0．

Answer 1

分析 直接利用图象对称轴的距离，求出函数的周期，继而求出f（x）=3sin（$\frac{π}{2}$x+φ），分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）的值，发现其规律得到答案．

解答 解：函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离为2，
∴周期为4，则ω=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=3sin（$\frac{π}{2}$x+φ），
∴f（1）=3sin（$\frac{π}{2}$+φ）=3cosφ，
f（2）=3sin（π+φ）=-3sinφ，
f（3）=3sin（$\frac{3π}{2}$+φ）=-3cosφ，
f（4）=3sin（2π+φ）=3sinφ，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，
故答案为：0．

点评 本题考查函数周期的求法以及归纳推理好三角函数的诱导公式，涉及三角函数的图象的应用，考查计算能力．