Question

下列函数中，①y=|x+

1

x

|；②y=

x2+2

x2+1

；③y=log₂x+log_x2（x＞0且x≠1）；④y=3^x+3^-x；⑤y=x+

4

x

-2；⑥y=

x

+

4

x

-2；⑦y=log₂x²+2最小值为2的函数是

①③④⑥

（只填序号）

Answer 1

分析：①y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|，由基本不等式可判断真假；
②y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

，由基本不等式可判断真假；
③当log₂x＜0时，y=log2x+logx2≤-2可判断真假；
④y=3^x+3^-x，由基本不等式可判断真假；
⑤当x＜0时，y=x+

4

x

-2≤-6可判断真假；
⑥y=

x

+

4

x

-2，由基本不等式可判断真假；
⑦求出函数y=log₂x²+2值域，可判断真假．

解答：解：①∵x与

1

x

同号，故y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|，由|x|＞0，|

1

x

|＞0
∴y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2

|x|• 1 |x|

=≥2，故正确；
②y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

，由

x2+1

＞0，

1

x2+1

＞0，
∴y=

x2+1

+

1

x2+1

≥2

x2+1 • 1 x2+1

=2，故正确；
③当＜x＜1时，log₂x＜0时，y=log₂x+log_x2≤-2，故错误；
④由3^x＞0，3^-x＞0，
∴y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2，故正确；
⑤当x＜0时，y=x+

4

x

-2≤-6，故错误；
⑥∵

x

＞0，

1

x

＞0，
则y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，故正确；
⑦∵x²＞0，故y=log₂x²∈（-∞，+∞），故y=log₂x²+2∈（-∞，+∞），故错误；
故答案为：①③④⑥

点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断