Question

已知函数．

(1)求在[0，1]上的极值；

(2)若对任意∈[]，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)若关于的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围．

Answer 1

解：(1)，

       令得或 (舍去)；

       当0≤时，，单调递增；

       当≤1时，，单调递减．

       所以为函数在[0，1]上的极大值．

       (2)由得

           ①

       设，

       ，

       依题意知或在[]上恒成立．

       ∵，

       ∴与都在[]上单调，要使不等式①成立，

当且仅当或，即或．

       (3)由得

       ，

       令，

       则，

       当时，，于是在上递增；

当时，，于是在上递减．

而，所以在[0，1]上恰有两个不同的实根等价于：

所以．