Question

已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=(n∈N^*).

(1)求a₂,a₃的值;

(2)求数列{a_n}的通项公式;

(3)求证: ＜.

Answer 1

分析:本小题主要考查数列、数学归纳法、数列求和等基础知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识.

(1)解:∵a₁=1,a_n+1=,

∴a₂==,a₃===.

(2)解斨法一:∵a₁=1,a_n+1=,∴a_n＞0.

∴==+=(1+)²-1.

∴1+=(1+)².

∴lg(1+)=lg(1+)²=2lg(1+).

∴数列{lg(1+)}是首项为lg(1+)=lg2,公比为2的等比数列.∴lg(1+)=2n-1·lg2=lg.

∴1+=.∴a_n=.

解法二:∵a₁=1,a_n+1=,∴a_n＞0.

∴=()².

∴lg()=lg()²=2lg().

∴数列{lg()}是首项为lg()=lg,公比为2的等比数列.

∴lg()=2^n-1·lg=lg.

∴=.∴a_n=.

解法三:由(1)知a₂===,

a₃==,猜想:a_n=.

下面用数学归纳法证明猜想成立.

①当n=1时,a₁=1=,猜想正确.

②假设当n=k(k∈N^*)时,a_k=成立,

则a_k+1=====.

∴当n=k+1时,猜想也正确.

由①②知对任意n∈N^*,a_n=.

(3)证明:由(2)得.

∴+…+

=+()²++…+.

∵2^n-1=1+++…+,

当n≥4时,2^n-1=1+++…+＞n+1.

当n≥4时,＜()ⁿ⁺¹,

∴＜+()²++［()⁵+()⁶+…+()ⁿ⁺¹］

=+++

=+-()ⁿ⁺¹=-()ⁿ⁺¹＜.

容易验证当n=1,2,3时,＜也成立.

∴＜.