Question

已知函数f(x)=

cx+1，0＜x＜c 2- x c2 +1，c≤x＜1

满足f(c)=

5

4

．
（1）求常数c的值；
（2）求使f(x)＞

2

8

+1成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，f（c）=2-

1

c

+1=

5

4

，可求得常数c的值；
（2）由（1）知c=

1

2

，从而f（x）=

1 2 x+1，(0＜x＜ 1 2 ) 2-4x+1，( 1 2 ≤x＜1)

，分段去解不等式f（x）＞

2

8

+1即可．

解答：解：（1）因为f（x）=

cx+1，0＜x＜c 2- x c2 +1，c≤x＜1

，
∴f（c）=2-

1

c

+1，又f（c）=

5

4

，
∴2-

1

c

=

1

4

=2^-2，
∴c=

1

2

．（4分）
（2）∵c=

1

2

，
∴f（x）=

1 2 x+1，(0＜x＜ 1 2 ) 2-4x+1，( 1 2 ≤x＜1)

（6分）
当0＜x＜

1

2

时，由f（x）＞

2

8

+1得

1

2

x+1＞

2

8

+1，从而

2

4

＜x＜

1

2

，（8分）
当

1

2

≤x＜1时，解f（x）＞

2

8

+1得
得2^-4x+1＞

2

8

+1，从而

1

2

≤x＜

5

8

，（10分）
综上可得，

2

4

＜x＜

1

2

或

1

2

≤x＜

5

8

，（11分）
所以f（x）＞

2

8

+1的解集为{x|

2

4

＜x＜

5

8

}．（12分）

点评：本题考查分段函数的应用，考查解不等式的能力，考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于难题．