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已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足 $数学公式$ ，n∈N^．数列{b_n}满足 $数学公式$ ，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）若对任意的n∈N^，不等式 $数学公式$ 恒成立，求实数λ的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，a₁≠0，∴a₁=1．…．（1分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴（1+d）²=3+3d，
∴d=-1，2，
当d=-1时，a₂=0不满足条件，舍去．
因此d=2．…．（4分）
∴a_n=2n-1，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．…．（6分）
（2）当n为偶数时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，当n=2时等号成立，∴ $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$ ，
因此 $\text{[math]}$ ． …．（9分）
当n为奇数时， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ 在n≥1时单调递增，∴n=1时 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ． …．（12分）
综上， $\text{[math]}$ ． …．（14分）
分析：（1）利用 $\text{[math]}$ ，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；
（2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题．

练习册系列答案

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科目：高中数学 来源： 题型：

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{a_n}是调和数列，对于各项都是正数的数列{x_n}，满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）把数列{x_n}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当x₃=8，x₇=128时，求第m行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{x_n}，证明：

＜

x1-1

x2-1

x3-1

+…+

xn-1

xn+1-1

＜

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2006•南汇区二模）已知数列{a_n}中，若2a_n=a_n-1+a_n+1（n∈N^*，n≥2），则下列各不等式中一定成立的是（　　）