Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足a₁=1且a_n=a_n-1cos

2nπ

3

，则其前2013项的和为______．

Answer 1

当n=3k（k∈N）时，cos

2×3kπ

3

=cos2kπ=1，
当n=3k+1（k∈N）时，cos

2×(3k+1)π

3

=cos(2kπ+

2π

3

)=cos

2π

3

=-

1

2

，
当n=3k+2（k∈N）时，cos

2×(3k+2)π

3

=cos(2kπ+

4

3

π)=-cos

π

3

=-

1

2

，
由a₁=1且a_n=a_n-1cos

2nπ

3

，
得：a2=a1cos

2π

3

=-

1

2

，a3=a2cos2π=-

1

2

，
a4=a3cos

8π

3

=(-

1

2

)×(-

1

2

)=

1

4

，a5=a4cos

10π

3

=

1

4

×(-

1

2

)=-

1

8

，
a6=a5cos

12π

3

=(-

1

8

)×cos4π=(-

1

8

)×1=-

1

8

，
…
由此可得从第一项起，数列{a_n}的每三项和为0，
而2013=671×3，所以，S₂₀₁₃=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）=0．
故答案为0．