Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得，b≤

1

x

-x 且 b≥-

1

x

-x 在（0，1]上恒成立，利用函数的单调性分别求出y=

1

x

-x 的最小值为0，y=-

1

x

-x 的最大值为-2，由此求得b的取值范围．

解答：解：由题意知，函数f（x）=x²+bx，原命题等价于-1≤x²+bx≤1在区间（0，1]上恒成立，
即 b≤

1

x

-x 且 b≥-

1

x

-x 在（0，1]上恒成立，
根据单调性可得 y=

1

x

-x 的最小值为0，y=-

1

x

-x 的最大值为-2，
∴-2≤b≤0，
故b的取值范围为[-2，0]．

点评：本题主要考查求二次函数性质的应用，函数的恒成立问题，属于基础题．