Question

已知双曲线x²-=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.

Answer 1

解：当k=0时,显然不成立.

∴当k≠0时,由l⊥AB,可设直线AB的方程为y=-x+b,代入3x²-y²=3中,得(3k²-1)x²+2kbx-(b²+3)k²=0.

显然3k²-1≠0,∴Δ=(2kb)²-4(3k²-1)［-(b²+3)k²］＞0,即k²b²+3k²-1＞0.              ①

由根与系数的关系,得中点M(x₀,y₀)的坐标

∵M(x₀,y₀)在直线l上,

∴=+4,即k²b=3k²-1.                                                                ②

把②代入①得k²b²+k²b＞0,解得b＞0,或b＜-1.

∴＞0或＜-1,

即|k|＞或|k|＜,且k≠0.

∴k的取值范围是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).