Question

函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域为[

m

2

，

n

2

]，那么就称y=f（x）为“希望函数”，若函数f（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）是“希望函数”，则t取值范围为

（0，

1

4

）

．

Answer 1

分析：法一：由题意可知f（x）在D内是单调增函数，才为“希望函数”，从而可构造函数f（x）=

1

2

x，转化为

1

2

x=log_a（a^x+t）有两异正根，可求t的范围可求．
法二：根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．

解答：解：因为函数f（x）=log_a（a^x+t）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“希望函数”，
方程f（x）=

1

2

x必有两个不同实数根，
∵log_a（a^x+t）=

1

2

x?a^x+t=a

1

2

x?a^x-a

1

2

x+t=0，
令m=a

1

2

x
∴方程m²-m+t=0有两个不同的正数根，
∴

△=1-4t＞0 t＞0

∴t∈（0，

1

4

）
故答案为：（0，

1

4

）
法二：依题意，函数g（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=x不满足条件②，
∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[

1

2

m，

1

2

n]，
∴

loga(am+t)= 1 2 m loga(an+t)= 1 2 n

即

a 1 2 m=am+t a 1 2 n=an+t

∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等正实根，
∴△=1-4t＞0，且t＞0
∴0＜t＜

1

4

故答案为：（0，

1

4

）

点评：本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决．