Question

△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图.

(1)求证:DF∥平面ABC;

(2)求证:AF⊥BD;

(3)求平面BDF与平面ABC所成二面角的大小.

Answer 1

(1)证明:如图所示,取AB中点G,连结CG、FG.

∵EF=FB,AG=GB,

∴FG.

又DC,∴FGDC.

∴四边形CDFG为平行四边形,

故DF∥CG.

∵平面ABC,平面ABC,

∴DF∥平面ABC.

(2)证明:∵EA⊥平面ABC,

∴EA⊥CG.

又△ABC是正三角形，

∴CG⊥AB.

∴CG⊥平面AEB.

∴CG⊥AF.

又∵DF∥CG,∴DF⊥AF.

又AE=AB,F为BE中点,

∴AF⊥BE.又BE∩DF=F,

∴AF⊥平面BDE.

∴AF⊥BD.

(3)解:延长ED交AC延长线于G′,连结BG′.

由,CD∥AE知D为EG′中点,

∴FD∥BG′.

由CG⊥平面ABE,FD∥CG,

∴BG′⊥平面ABE.

∴∠EBA为所求二面角的平面角.

在等腰直角三角形AEB中,易求∠ABE=45°.

解析:

空间直线和平面