Question

若F₁、F₂，为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足

(Ⅰ)求此双曲线的离心率；

(Ⅱ)若此双曲线过点N(2，)，求双曲线方程；

(Ⅲ)设(Ⅱ)中双曲线的虚轴端点为B₁、B₂(B₁在y轴正半轴上)，过B₂作直线AB与双曲线交于A、B两点，求时，直线AB的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)由知四边形PF₁OM为平行四边形，

又由

知OP平分∠F₁OM,∴PF₁OM为菱形, 

设半焦距为c,由||=c知||=c,

||=c,∴||=||+2a=c+2a,

又

e²-e-2=0,∴e=2.(e=-1舍去) 

(Ⅱ)∵e=2=,∴c=2a,

∴双曲线方程为,将点（2,）代入，有,∴a²=3.

即所求双曲线方程为. 

(Ⅲ)依题意得B₁(0,3),B₂(0,-3).

设直线AB的方程为y=kx-3,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

则由(3-k²)x²+6kx-18=0. 

∵双曲线的渐近线为y=±x,

∴当k=±时，AB与双曲线只有一个交点,

即k≠±.  ∵x₁+x₂=.

y₁+y₂=k(x₁+x₂)-6=,

y₁y₂=k²x₁x₂-k(x₁+x₂)+9=9

又=(x₁,y₁-3), =(x₂,y₂-3),

⊥x₁x₂+y₁y₂-3(y₁+y₂)+9=0, 

∴+9=0.即k²=5,∴k=±.

直线AB的方程为y=±x-3.