Question

设α∈（π，2π），若tan(α+

π

6

)=2，则cos(

π

6

-2α)的值为

4

5

．

Answer 1

分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5

3

-8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α 和 cos2α 的值，再由 cos(

π

6

-2α)=cos

π

6

cos2α+sin

π

6

sin2α，运算求得结果．

解答：解：∵tan(α+

π

6

)=2=

tanα+tan π 6

1-tanαtan π 6

=

tanα+ 3 3

1- 3 3 tanα

，∴tanα=5

3

-8．
再由sin2α=

2sinαcosα

sin2α+ cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

10 3 -16

140-80 3

，cos2α=

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

1-tan2α

1+tan2α

=

-138+80 3

140-80 3

，
可得 cos(

π

6

-2α)=cos

π

6

cos2α+sin

π

6

sin2α=

4

5

，
故答案为

4

5

．

点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．