Question

已知函数f（x）=51nx+ax²-6x（a为常数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）利用导数的几何意义可得f'（1）=0，解出a即可；
（II）利用导数的运算法则得出f^′（x），解出f^′（x）＞0或f^′（x）＜0，即可得出函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=5lnx+ax²-6x，∴f′(x)=

5

x

+2ax-6(x＞0)；
又∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f'（1）=5+2a-6=0，得a=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=5lnx+

1

2

x2-6x，
∴f′(x)=

x2-6x+5

x

=

(x-1)(x-5)

x

(x＞0)；
由f'（x）＞0得x＜1，或x＞5；由f'（x）＜0，1＜x＜5．
∴函数f （x） 的单调递增区间为 （0，1）和 （5，+∞），单调递减区间为 （1，5 ）．

点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义是解题的关键．