Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）.

   （I）求证：MN∥平面CDEF；

   （II）求多面体A—CDEF的体积.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱住ADE—BCF，……2分

    且AB=BC=BF=2，DE=CF=2  ∴∠CBF=…………………………4分

   （I）取BF中点G，连MG、NG，由M、N分别为AF、BC  的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，………………6分

    ∴平面MNG∥平面CDEF.  ∴MN∥平面CDEF.………………………………8分

   （II）取DE的中点H.  ∵AD=AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE—BCF中，

    平面ADE⊥平面CDEF，面ADE∩面CDEF=DE.

    ∴AH⊥平面CDEF.………………………………………………………………………10分

    ∴多面体A—CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，

    在△ADE中，AH=，

    ∴棱锥A—CDEF的体积为…………12分