Question

在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥P—ABCD的体积;

(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

Answer 1

解:(1)在四棱锥P—ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成角,∠PBO=60°.

在Rt△AOB中,BO=ABsin30°=1,又PO⊥BO,于是,PO=BOtan60°=,而底面菱形的面积S_ABCD=,

∴四棱锥P—ABCD的体积V_P—ABCD=××=2.

(2)取AB的中点F,连结EF、DF.

由E是PB的中点,得EF∥PA,

∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角).

在Rt△AOB中,OA=ABcos30°==OP,于是,在等腰直角△POA中,PA=,则EF=.

而在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=.

cos∠FED=,

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.