Question

已知f(x)=

sin2x-2sin2x

1-tanx

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最值；
（Ⅲ）当cos(

π

4

+x)=

3

5

时，求f（x）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可知对函数f（x）的解析式，分母不等于0，进而求得x的范围，函数的定义可得．利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）根据（1）中求得函数的定义域以及正弦函数的单调性可求得函数的最小值，根据定义域可知函数无最大值．
（Ⅲ）利用诱导公式和二倍角公式把sin2x转化成-2cos2(x+

π

4

)+1，把cos(

π

4

+x)的值代入即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由1-tanx≠0得x≠kπ+

π

4

(k∈Z)．又x≠kπ+

π

2

(k∈Z)
∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+

π

4

，x≠kπ+

π

2

(k∈Z)}．
∵f(x)=

sin2x-2sin2x

1-tanx

=

cosx•2sinx(cosx-sinx)

cosx-sinx

=sin2x，
∴f（x）的最小正周期为π
（Ⅱ）∵函数的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+

π

4

，x≠kπ+

π

2

(k∈Z)}
∴2x≠2kπ+

π

2

(k∈Z)，
∴函数f（x）无最大值．
∴当x=kπ-

π

4

(k∈Z)时，函数f（x）最小值为-1
（Ⅲ）∵cos(

π

4

+x)=

3

5

∴f(x)=sin2x=-cos(2x+

π

2

)=-2cos2(x+

π

4

)+1=-2×

9

25

+1=

7

25

．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，诱导公式和二倍角公式的化简求值，函数的定义域问题．考查了考生对所学知识的综合运用．