Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件知，f'（1）=3，即2a+b=0  ①，再由f'（-2）=0，即12-4a+b=0 ②，①②联立解得a，b的值，
从而得到f（x）的解析式．
（2）依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，分y=f'（x）的对称轴 在区间的左侧、右侧、中间三种
情况求得f'（x）的 最小值，由最小值大于或等于0求出b的取值范围．

解答：解：由f（x）=x³+ax²+bx+5，求导数得f'（x）=3x²+2ax+b，
由在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3，知f'（1）=3，即3+2a+b=3，
化简得2a+b=0  ①．
（1）因为y=f（x）在x=-2（3）时有极值，所以，f'（-2）=0，即12-4a+b=0 ②．
由①②联立解得a=2，b=-4，∴f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f'（x）=3x²+2ax+b，由①知2a+b=0，∴f'（x）=3x²-bx+b．y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即  3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立，
下面讨论函数y=f'（x）的对称轴：
当 x=

b

6

≥1 时，f'（x）_min =f'（1）=3-b+b＞0，∴b≥6．
当 x=

b

6

≤-2 时，f'（x）_min =f'（-2）=12+2b+b≥0，无实数解．
当 -2＜

b

6

＜1 时，f′(x)min=

12b-b2

12

≥0，∴0≤b＜6．
综合上述讨论可知，b的取值范围是b|b≥0．

点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，
以及推理论证能力和运算求解能力．