Question

对任意两个非零的平面向量

α

和

β

，定义

α

?

β

=

α • β

β • β

．若平面向量

a

，

b

满足|

a

|≥|

b

|＞0，

a

与

b

的夹角θ∈（0，

π

4

），且

a

?

b

和

b

?

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，则

a

?

b

=

3

2

．

Answer 1

分析：根据题中的定义，化简整理得

a

?

b

=

| a |cosθ

| b |

=

n

2

且

b

?

a

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，其中m、n都是整数．两式相乘可得cos²θ=

mn

4

，由|

a

|≥|

b

|＞0且

a

与

b

的夹角θ∈（0，

π

4

），讨论可得m=1且n=3，从而得出

a

?

b

的值．

解答：解：由题意，可得

a

?

b

=

a • b

b • b

=

| a |•| b |cosθ

| b |2

=

| a |cosθ

| b |

=

n

2

，
同理可得：

b

?

a

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，其中m、n都是整数
将化简的两式相乘，可得cos²θ=

mn

4

．
∵|

a

|≥|

b

|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵

a

与

b

的夹角θ∈（0，

π

4

），可得cos²θ∈（

1

2

，1）
即

mn

4

∈（

1

2

，1），结合m、n均为整数，可得m=1且n=3，从而得

a

?

b

=

n

2

=

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题给出新定义，求式子

a

?

b

的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．