Question

设函数f（x）=log_a（a^x+）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性并证明．

Answer 1

解：（1）由已知可得f（x）的定义域为R，根据f（-x）=log_a（a^-x+）
=log_a（a^x+）=f（x），
故f（x）为偶函数．
（2）设h（x）=a^x+，当a＞1时，令x₁＞x₂＞0，故h（x₁）＞h（x₂），
log_ah（x₁）＞log_ah（x₂），即f（x₁）＞f（x₂），故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
同理可证当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数．
分析：（1）由已知可得f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数．
（2）设h（x）=a^x+，利用定义证明，h（x）在（0，+∞）上是增函数，再讨论a的范围，可得
f（x）在（0，+∞）上的单调性．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，体现了分类讨论的
数学思想，属于中档题．