Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}滿足，证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）证明：．

Answer 1

解：（I）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ．
即a_n=2ⁿ-1∈N^*）．
（II）证明：∵
∴．
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}是等差数列．
（III）证明：∵，k=1，2，，n，
∴．
∵，k=1，2，，n，
∴，
∴．
分析：（I）整理题设递推式得a_n+1+1=2（a_n+1），推断出{a_n+1}是等差数列，进而求得a_n+1，则a_n可求．
（II）根据题设等式可推断出2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n和2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．两式相减后整理求得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n进而推断出{b_n}是等差数列．
（III）利用（1）中数列{a_n}的通项公式，利用不等式的传递性，推断出进而推断出；同时利用不等式的性质推断出，进而代入证明原式．
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．