Question

（2013•湛江一模）椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上任一点，则

|PF1|

•

|PF2|

的取值范围是（　　）

A．（0，4]

B．（0，3]

C．[3，4）

D．[3，4]

Answer 1

分析：根据椭圆方程设出P的坐标，求出F₁、F₂，坐标，然后表示出

|PF1|

•

|PF2|

．利用三角函数的有界性求出数量积的范围．

解答：解：因为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
P是椭圆上任一点（2cosθ，

3

sinθ），θ∈R
所以

PF1

=(-1-2cosθ，-

3

sinθ)，

PF2

=(1-2cosθ，-

3

sinθ)，
所以

|PF1|

•

|PF2|

=

(-1-2cosθ)2+3sin2θ

•

(1-2cosθ)2+3sin2θ

=

(2+cosθ)2

•

(2-cosθ)2

=4-cos²θ
因为θ∈R，cos²θ∈[0，1]，
4-cos²θ∈[3，4]．
所以

|PF1|

•

|PF2|

的取值范围是：[3，4]．
故选D．

点评：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，向量的数量积的应用，三角函数的值域，考查计算能力．