Question

直线l经过点(1,1),若抛物线y²=x上存在两点关于直线l对称,求直线l斜率的取值范围.

Answer 1

解法一：设直线l的方程为y-1=k(x-1),弦的两个端点分别是A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),代入抛物线方程并作差得(y₁+y₂)(y₁-y₂)=x₁-x₂.

    ∵k_AB==-,

    ∴y₁+y₂=-k.注意到AB的中点在直线l:y-1=k(x-1)上,

    ∴x₁+x₂=1-.

   ∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=1-.

    由y₁²+y₂²＞,得1-＞＜0-2＜k＜0.

解法二：设抛物线上关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点为(y₁²,y₁)、(y₂²,y₂),则

   

   

    y₁y₂=+-,

    ∴y₁、y₂是方程y²+ky++-=0的两根.

    由Δ=k²-4(+-)＞0

    ＜0

    -2＜k＜0.