Question

有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n²-n+2部分.

Answer 1

思路分析：在n=k+1时，究竟增加了几部分，也就是计数问题，这对学生是个难点，要抓住有2k个交点，每个交点所在部分被一分为二.

证明：(Ⅰ)当n=1时,一个圆把平面分成两部分.

(Ⅱ)假设n=k时命题成立，则k个圆把平面分成k²-k+2部分，当n=k+1时,第k+1个圆与原来的k个圆都有两个交点，共2k个交点,这2k个交点把圆分成2k段圆弧，其中每一段圆弧把它所在部分分成两部分，所以共增加了2k个平面部分，即k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2,∴n=k+1时命题成立.

综合(Ⅰ)(Ⅱ)，对一切大于1的自然数n，原命题都成立.