Question

求所有的实常数p的值,使得函数f(x)=的值域包含区间［1,2］.

      

Answer 1

解析:设y∈［1,2］，只需求p使得方程yp-ysin²x-cosx+2(p-1)=0①存在一个实数解x，使得sin²α≠p.?

       令t=cosx，则问题化为求所有的实数p，使得对每个实数y∈［1,2］,关于t的方程

yt²-t+(p-1)(y+2)=0②有一个实数根t₀，使t₀²≠1-p，且t₀∈［-1,1］,

       若t₀²=1-p，则由②可知t₀=-2(1-p)，从而4(1-p)²=1-p,p=1或.?

       注意到p=1时，方程②的根为t₁=0,t₂=∈［,1］［-1,1］,故p=1满足条件；p=时，方程②的两根为t₁=-,t₂=+∈［1,］［-1,1］，所以p=不满足条件.?

       设p≠1且p≠,方程②有实根的条件为Δ=1+4y(y+2)(1-p)≥0,?

       依题意，要求p≤1+对每个y∈［1,2］成立，这表明p≤1+=.?

       另一方面，关于t的二次函数g(t)=yt²-t+(p-1)(y+2)的对称轴为t=∈［, ］［-1,1］,?

       故g(t)=0有一个根t₀∈［-1,1］的条件为g(-1)≥0或g(1)≥0，从而p≥1-对每个y∈［1,2］都成立，从而p≥.所以，p∈［,］且p≠.