Question

如图19，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=4，AA₁=3，分别过BC、A₁D₁的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V₁=，V₂=，V₃=V.若V₁∶V₂∶V₃=1∶4∶1，试求截面A₁EFD₁的面积.

图19

Answer 1

探究：利用体积关系得到面积的关系解决此类问题，且灵活应用“转化”这一重要数学思想.截面A₁EFD₁为一个矩形,求其面积只要求出A₁E的长度.注意到被两平行平面分割而成的三部分都是棱柱，其体积比也就是在侧面A₁B被分割成的三个图形的面积比,于是容易得到各线段长度比进而得到线段AE的长度,再利用勾股定理容易得到A₁E的长度.

解：因为V₁∶V₂∶V₃=1∶4∶1，又棱柱AEA₁—DFD₁，EBE₁A₁—FCF₁D₁，B₁E₁B—C₁F₁C的高相等，所以∶∶=1∶4∶1.

所以=×3×6=3，即×3×AE=3.所以AE=2.

在Rt△A₁AE中，A₁E==,

所以截面A₁EFD₁的面积为A₁E×A₁D₁=A₁E×AD=4.

答：截面A₁EFD₁的面积为4.