Question

已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和S3=

13

3

．函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

处取得最大值，且最大值为a₃，则函数f（x）的解析式为

f(x)=3sin(2x+

π

6

)

．

Answer 1

分析：根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S₃=

13

3

，解方程得到首项的值可得a₃的值，即可得到A的值，然后把x=

π

6

代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．

解答：解：由等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和S3=

13

3

可得

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，解得 a₁=

1

3

．
∴a_n =

1

3

 3^n-1=3^n-2，∴a₃ =3．因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3．
又因为当x=

π

6

时，f（x）取得最大值，所以sin（2×

π

6

+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ=

π

6

，
则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+

π

6

），
故答案为 f（x）=3sin（2x+

π

6

）．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．