Question

已知函数f（x）=2cos²x-sin²x-3cosx-1．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求f（x）取最大值、最小值时的x的集合．

Answer 1

分析：（1）将x=

π

3

代入f（x）表达式，结合

π

3

角的三角函数值加以计算，可得f（

π

3

）的值；
（2）利用同角三角函数的平方关系，化简得f（x）=3cos²x-3cosx-2，再利用二次函数的图象与性质，研究以 cosx为单位的二次函数，可得f（x）的最大值和最小值，并可求出相应的x的集合．

解答：解：（1）∵f（x）=2cos²x-sin²x-3cosx-1
∴f（

π

3

）=2cos²

π

3

-sin²

π

3

-3cos

π

3

-1=2×（

1

2

）²-（

3

2

）²-3×

1

2

-1=-

11

4

；
（2）f（x）=2cos²x-sin²x-3cosx-1
=3cos²x-3cosx-2=3（cosx-

1

2

）²-

11

4

∵cosx∈[-1，1]
∴当cosx=-1时，函数f（x）的最大值为4，此时x的集合为{x|x=π+2kπ，k∈Z}
当cosx=

1

2

时，函数f（x）的最小值为-

11

4

，此时x的集合为{x|x=±

π

3

+2kπ，k∈Z}．

点评：本题给出关于sinx、cosx的函数，求函数的最大、最小值，并求相应的x的集合．着重考查了三角函数的性质、二次函数的图象与性质和特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．