Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²+4n+1，数列{b_n}的首项b₁=2，且点（b_n，b_n+1）在直线y=2x上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n与S_n的关系可得通项公式，又可得{b_n}是以2为首项2为公比的等比数列可得通项公式；（2）由（1）知，当n=1时，c₁=a₁•b₁=14，当n≥2时，由错位相减法可得答案，验证所得的式子当n=1时也成立，可得结论．

解答：解：（1）由Sn=2n2+4n+1得Sn-1=2(n-1)2+4(n-1)+1，--------（1分）
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+4n+1-2(n-1)2-4(n-1)-1=4n+2(n≥2)---------（2分）
当n=1时，代入已知可得a₁=7，-----------------------------（3分）
综上an=

4n+2(n≥2) 7(n=1)

．--------------------------（4分）
∵点（b_n，b_n+1）在直线y=2x上，∴b_n+1=2b_n，又b₁=2，------------------（5分）
∴{b_n}是以2为首项2为公比的等比数列，∴bn=2n．------------------（7分）
（2）由（1）知，当n=1时，c₁=a₁•b₁=14；--------------（8分）
当n≥2时，cn=an•bn=(4n+2)•2n=(2n+1)•2n+1，---------------（9分）
所以当n=1时，T₁=c₁=14；
当n≥2时，Tn=c1+c2+c3+…+cn=14+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1①
则2Tn=28+5×24+…+(2n-1)•2n+1+(2n+1)•2n+2②----------（10分）
②-①得：Tn=14-5×23-25-26-…-2n+2+(2n+1)•2n+2-------------（12分）
即Tn=14-5×23-

25(2n-2-1)

2-1

+(2n+1)•2n+2=(2n-1)•2n+2+6，---------------（13分）
显然，当n=1时，T1=(2×1-1)•21+2+6=14，
所以Tn=(2n-1)•2n+2+6．----------------（14分）

点评：本题考查数列的求和，涉及等差数列和等比数列的综合应用，以及错位相减求和法，属中档题．