Question

设函数f（x）=sinxcosx+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期计算公式求其最小正周期即可
（2）先求内层函数2x+

π

4

的值域，在将其看做整体，利用正弦函数的图象和性质求函数的最值即可

解答：解：f（x）=sinxcosx+cos²x=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
（1）∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]
∴f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

∈[0，

2 +1

2

]
∴函数f（x）的最大值为

2 +1

2

，最小值为0

点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在解决三角化简和求值问题中的作用，复合函数最值的求法，整体代入的思想方法