Question

（2013•嘉定区一模）已知函数f（x）=x²-cosx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，则满足f（x₀）＞f（

π

3

）的x₀的取值范围为

[-

π

2

，-

π

3

)∪(

π

3

，

π

2

]

．

Answer 1

分析：先充分考虑函数f（x）=x²-cosx，x∈[-

π

2

，

π

2

]的性质，为偶函数，其图象关于y轴对称，故考虑函数[0，

π

2

]区间上的情形，利用导数可得函数在[0，

π

2

]单调递增，再结合f（x₀）＞f（

π

3

）和对称性即可得x₀的取值范围．

解答：解：注意到函数f(x)=x2-cosx，x∈[-

π

2

，

π

2

]是偶函数故只需考虑[0，

π

2

]区间上的情形．
 当x∈[0，

π

2

]时，f^′（x）=2x+sinx≥0，∴函数在[0，

π

2

]单调递增，
所以f(x0)＞f(

π

3

)在[0，

π

2

]上的解集为(

π

3

，

π

2

]，
结合函数是偶函数，图象关于y轴对称，得原问题中x₀取值范围是[-

π

2

，-

π

3

)∪(

π

3

，

π

2

]．
故答案为[-

π

2

，-

π

3

)∪(

π

3

，

π

2

]

点评：这是一个常见考型，应引起足够重视．填写答案时，应注意区间的闭、开问题，注意规范答题，否则将可能因为表述问题而失去已到手的分．