Question

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α﹣β|的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f'（x）=0的根，
又∵f'（x）=3x²+2bx+c，
∴f'（0）=0，∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，
又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤﹣3，
又d=﹣8﹣4b ∴d≥4 f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=﹣8﹣4b且b≤﹣3，
∴f（1）=1+b﹣8﹣4b=﹣7﹣3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x﹣α）（x﹣2）（x﹣β） =x³﹣（α+β+2）·x²﹣2αβ
∴ ；
∴|β﹣α|²=（α+β）²﹣4αβ =（b+2）²+2d =b²+4b+4﹣16﹣8b
=b²﹣4b﹣12 =（b﹣2）²﹣16
又∵b≤﹣3，∴|β﹣α|≥3