Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意设出点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．
解答：解：根据题意设P的坐标为（t，-t³+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x²，故切线的斜率k=y′_|x=t=-3t²，
所以切线方程为：y-（-t³+1）=-3t²（x-t），
令x=0，解得：y=2t³+1；令y=0，解得：x=，
所以△AOB的面积S=（2t³+1）•=，
设y=2t²+=2t²++≥3，
当且仅当2t²=，即t³=，即t=取等号，
把t=代入得：S_min=．
故答案为：
点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．