Question

定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）．当x∈（0，1]时，f(x)=

x+1

，则f（2010）的值是（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：由题意，可由题设条件定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）．判断出函数的周期是4，再由恒等式f（-x）=-f（x）判断出f（0）=0，即可求f（2010）的值选出正确选项

解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）．
由f（1+x）=f（1-x）得f（x）=f（2-x）．
结合f（-x）=-f（x），得f（-x）=f（-2+x）．
∴f（-2+x）=-f（x），即f（-2+x）=f（x+2），故函数的周期是4
∴f（2010）=f（2）=-f（0）
∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），令x=0得f（0）=-f（0），∴f（0）=0
∴f（2010）=f（2）=-f（0）=0
故选B

点评：本题考查函数的值及函数奇偶性的性质，解题的关键是判断出函数的周期性及利用所给的恒等式求出f（0）=0，本题属于基本题型，难度较低，恒等变形很关键．