Question

过抛物线y²=4x的焦点F作弦AB，若

AF

=2

FB

，则弦AB所在直线的方程是_______．

Answer 1

设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y2=4x y=kx+m

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，即km＜1．
x₁+x₂=

4-2km

k2

，x₁x₂=

m2

k2

．
由y²=4x得其焦点F（1，0）．
由

AF

=2

FB

，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）．
所以

1-x1=2x2-2① -y1=2y2②

，
由①得，x₁+2x₂=3 ③
由②得，x₁+2x₂=-

3m

k

．
所以m=-k．
再由

AF

=2

FB

，得|

AF

|=2|

FB

|，
所以x₁+1=2（x₂+1），即x₁-2x₂=1④
联立③④得x₁=2，x₂=

1

2

．
所以x₁+x₂=

4-2km

k2

=

5

2

．
把m=-k代入得

4-2k(-k)

k2

=

5

2

，解得|k|=2

2

，满足mk=-8＜1．
所以k=±2

2

．
则弦AB所在直线的方程是 y=±2

2

(x-1)．
故答案为：y=±2

2

(x-1)．