Question

设f（x）=+xlnx，g（x）=x³-x²-3.
（1）a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处得切线方程；
（2）若果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g（t）成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=2时，，，f（1）=2，， 所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3； （Ⅱ）存在，使得成立，等价于： 考察，）   0 2   - 0 +   g（x） -3 递减 极小值 递增 1 由上表可知： ， 所以满足条件的最大整数M=4； （Ⅲ）解法一：对任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立， 等价于：在区间上，函数f（x）的最小值不小于g（x）的最大值， 由（2）知，在区间上，g（x）的最大值为g（2）=1。 f（1）=a≥1，下证当a≥1时，在区间上，函数f（x）≥1恒成立。 当a≥1且时，， 记，， 当，；当 所以函数h（x）=在区间上递减，在区间(1，2]递增， ，即，所以当且时，成立， 即对任意s，t，都有； 解法二：当时，恒成立， 等价于恒成立，记，， 记，，由于， 所以在上递减，当时，， 时，，即函数h（x）=在区间上递增，在区间上递减， 所以，所以a≥1。