Question

已知函数f(x)＝ax－x²的最大值不大于，又当x∈[，)时，f(x)≥．

(1)求a的值；

(2)设0＜a₁＜，a_n+1＝f(a_n)，求证：0＜a_n＜．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：(1)由于f(x)＝ax－x2的最大值不大于，所以f()＝≤，即a2≤1．又x∈[，]时，f(x)≥． 　　所以解得a≥1． 　　∴a＝1． 　　(2)①当n＝1时，0＜a1＜，不等式0＜an＜成立； 　　②假设n＝k(k≥1)时，不等式成立，即0＜ak＜，则当n＝k＋1时， 　　ak+1＝ak(1－ak)＝·(k＋2)ak·(1－ak) 　　因(k＋2)ak＞0，1－ak＞0， 　　∴(k＋2)ak·(1－ak)≤＜1． 　　于是0＜ak+1＜． 　　因此当n＝k＋1时，不等式成立． 　　综上所述由①②可知，对n∈N+不等式0＜an＜成立．