Question

函数f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（0，+∞）
• B．（-∞，3）
• C．（0，

  1

  3

  ）
• D．(0，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：先求出函数的导数f'（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），通过讨论参数确定极小值，然后利用极小值点在（0，1）内即可．

解答：解：函数的导数为f'（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a）．由f'（x）=0，解得x=a或x=3a．
若a=0，则f'（x）=x²≥0，此时函数递增，无极值．所以a≠0
若a＞0，则3a＞a，此时函数在x=3a处取得极小值，由0＜3a＜1，解得0＜a＜

1

3

．
若a＜0，则3a＜a，此时函数在x=a处取得极小值，因为a＜0，所以此时不满足条件．
故选C．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，属于基本题型．