Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D为BC的中点．
（I）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B；
（II）求直线DA₁与平面BCC₁B₁所成角的大小；
（III）求二面角A-DC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（I）要想证明面面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，平面ACC₁A₁中有直线AC，可证明AC垂直平面BCC₁B₁中两条相交直线，则AC垂直平面BCC₁B₁，即可证明平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B．
（II）要求直线与平面所成角，只需求直线与她在平面内的射影所成角即可，先在直线上找一点，过该点向平面作垂线，再连接斜足和垂足，所得直线为射影，把直线与它在平面内的射影放入同一个三角形中，利用解三角形，求出线面角．
（III）求二面角的大小，也就是求二面角的平面角的大小，可用三垂线法找到二面角的平面角，再放到一个三角形中，通过解三角形，得出结果．

解答：解：（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC=

3

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴CC₁⊥AC．
∵BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
∵AC?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B．
（II）∵A₁C₁∥AC，∴由（I）知，A₁C₁⊥平面BCC₁B，∴∠A₁DC₁为直线DA1与平面BCC₁B₁所成的角．
在Rt△DA₁C₁中，DC₁=

CC12+CD2

=

1+ 3 4

=

7

2

tan∠A₁DC₁=

A1C1

DC1

=

2 7

7

故直线DA₁与平面BCC₁B₁所成角为arctan

2 7

7

（III）过C作CH⊥DC₁，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC₁⊥AH，从而∠AHC为二面角A-DC₁-C的平面角．
在Rt△CDC₁中，CD=

1

2

BC=

3

2

CH=

CC1-CD

DC1

=

3

7

tan∠AHC-

AC

CH

=

21

3

故二面角A-DC₁-C大小为arctan

21

3

．

点评：本题考查了直棱柱，直线与平面所成角，二面角等有关知识，考查空间想象能力，逻辑推理能力