Question

数列{a_n}中,a₁=0,对任意n≥2且n∈N^*时{a_n}的各项为正值,a_n+1(a_n+1-2)=4a_n(a_n+1),b_n=log₂(a_n+2)都成立.

(1)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;

(2)当k＞3且k∈N^*时,证明对任意n∈N^*都有+++…+＞1成立.

Answer 1

（1）解:由a_n+1(a_n+1-2)=4a_n(a_n+1)，得

(a_n+1+2a_n)(a_n+1-2a_n-2)=0.

数列{a_n}的各项为正值,a_n+1+2a_n＞0,

∴a_n+1=2a_n+2.∴a_n+1+2=2(a_n+2).                                                

又a₁+2=2≠0,

∴数列{a_n+2}为等比数列.                                                   

∴a_n+2=(a₁+2)·2^n-1=2ⁿ,a_n=2ⁿ-2,即为数列{a_n}的通项公式.

b_n=log₂(2ⁿ-2+2)=n.                                                         

(2)证明:设S=+++…+=+++…+,          ①

∴2S=(+)+(+)+(+)+…+(+).         

当x＞0,y＞0时,x+y≥2,

+≥2,

∴(x+y)(+)≥4.

∴+≥,当且仅当x=y时等号成立.                              

上述①式中,k＞3,n＞0,n+1,n+2,…,nk-1全为正,

∴2S＞++…+.

∴S＞＞=2(1-)＞2(1-)=1,得证.