Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₅=17，b₂b₄=16．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}（n∈N^*）满足b2，ban，b2n+2成等比数列，若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，求m的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据所给的两个等式，根据等比数列的性质写出第一项和第五项之间的两个关系，求出这两项，求出首项和公比，写出数列的通项公式．
（II）根据三个数字成等比数列，利用等比中项写出关系式，根据上一问做出的数列的通项，写出要求数列的通项．根据a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，写出关于m的不等式，做出结果．

解答：解：（Ⅰ）由 

b1b5=b2b4=16 b1+b5=17

知b₁，b₅是方程x²-17x+16=0的两根，
注意到b_n+1＞b_n得 b₁=1，b₅=16．
∴b₁=1，q=2
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1
（Ⅱ） 由b2，ban，b2n+2成等比数列，得ban2=b2•b2n+2，
∴a_n=n+2．
∵a_n+1-a_n=[（n+1）+2]-[n+2]=1
∴数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列．
由a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，
得m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7．
∴m的最大值是7．

点评：本题考查数列的知识，本题解题的关键是写出数列的通项，第二问要利用第一问的结论来写出关系式，注意运算过程不要出错．