Question

8．设A，B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上的两个动点，线段AB的中点为M，F为抛物线C的焦点，且∠AFB=60°，过M作抛物线C的准线l的垂线，垂足为N，则$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的取值范围为[1，2）．

Answer 1

分析 先设出|AF|，|BF|分别过A，B，M作准线的垂线，垂足分别是A′，B′，N，进而表示出|MN|，利用余弦定理表示出|AB|利用基本不等式求得其范围，最后求得$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值，利用两边之和大于第三边，即可得出结论．

解答 解：设|AF|=r₁，|BF|=r₂，分别过A，B，M作准线的垂线，垂足分别是A′，B′，N，则|MN|=$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$，
由余弦定理得|AB|²=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos60°=（r₁+r₂）²-3r₁r₂≥$\frac{1}{4}$（r₁+r₂）²，
∴（$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$）²≥1，
∴$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值为1．
∵|AF|+|BF|＞|AB|，∴2|MN|＞|AB|，
∴$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$＜2
故答案为：[1，2）．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．注重了学生对基础知识综合运用．