Question

已知椭圆

x2

3

+

y2

2

=1过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点
（1）求AB的中点坐标；
（2）求△ABF₂的周长与面积．

Answer 1

分析：（1）先由椭圆方程确定焦点坐标，可得直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，可得中点M的坐标；
（2）求出F₂到直线距离，利用三角形的面积公式，可求面积，利用椭圆的定义可求周长．

解答：解：（1）由

x2

3

+

y2

2

=1知，a=

3

，b=

2

∴c=

a2-b2

=1
∴F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴L的方程为y=x+1
代入椭圆方程可得5x²+6x-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）则x1+x2=-

6

5

，x1x2=-

3

5

∴x0=

x1+x2

2

=-

3

5

，y0=

y1+y2

2

=

x1+1+x2+1

2

=

x1+x2

2

+1=

2

5

∴中点坐标为M（-

3

5

，

2

5

）；
（2）F₂到直线距离d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

=

2

2

=

2

∴S_△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

×

8 3

5

×

2

=

4 6

5

 三角形周长l=4a=4

3

点评：本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积与周长，考查学生的计算能力，属于中档题．