Question

（2012•浦东新区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DA，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求异面直线EF与PD所成角的大小；
（2）当EF=

2

时，求在四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线性质可得∠APD为异面直线EF与PD所成的角或补角，证明△ADP是等腰直角三角形，可得异面直线EF与PD所成角的大小．
（2）解：由（1）知，EF=

1

2

AP，且 EF=

2

，AP=2

2

．判断点F到底面ABCD的距离为

1

2

PD=1，由此求得四棱锥F-ABCD的体积．

解答：解：（1）∵E，F分别是AB，PB的中点，∴EF∥AP．
∴∠APD为异面直线EF与PD所成的角或补角．
∵PD⊥底面ABCD，PD=AD，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，
∴异面直线EF与PD所成角的大小为45°．
（2）解：由（1）知，EF=

1

2

AP，且 EF=

2

，
∴AP=2

2

．
又由题意知，△PAD为等腰直角三角形，
∴PD=AD=2．
又∵点F为PB的中点，
∴点F到底面ABCD的距离为

1

2

PD=1．
∴四棱锥F-ABCD的体积为

1

3

×2×2×1=

4

3

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，求棱锥的体积，找出异面直线所成的角的平面角、棱锥的高，是解题的关键，属于中档题．