Question

13．已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调递减，q：设函数y=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2a（x≥2a）}\\{2a，（x＜2a）}\end{array}\right.$，函数y＞1恒成立，若p∨q为假，p∧q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件求出命题p，q的等价条件，结合复合命题的真假关系进行求解即可．

解答 解：若p是真命题，则0＜a＜1，
若函数y＞1恒成立
即函数y_min=2a＞1，即a＞$\frac{1}{2}$，
若p∨q为假，p∧q为真，则p，q一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得0＜a≤$\frac{1}{2}$，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即a≥1，
综上a≥1或0＜a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查复合命题的真假关系的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．